|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|
　　　　　　　　　　　　　　 |　5^(n+1)+6^(2n-1)が31の倍数であることの数学的帰納法による証明 　 　 　 　 　　　　.|
　　　　　　　　　　　　　　 |　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　n=k+1 のとき与式は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　5^(k+2) + 6^(2k+1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　である。この式を変形すると　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　5*5^(k+1) + 36*6^(2k-1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　となる。この式の5^(k+1)に　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　5^(k+1) + 6^(2k-1) = 31m　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　より得られる　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　5^(k+1) = 31m - 6^(2k-1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　を代入する。すると与式は　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　31m*5 + 31*6^(2k-1) = 31*[5m + 6^(2k-1)]　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　となる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　よって数学的帰納法により、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　すべての自然数nの値において　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　与式が正しいことが示せた。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 | 　 　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 証明終 　 　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |────────────────────────────────────|
　　　　　　　　　　　　　　 |　問１）●N個、○N個の合計2N個の玉がある。　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　|
　　　　　　　　　　　　　　 |　　　　これらすべてを円形に並べる並べ方の総数を　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　問２）∫[0≦x≦1]x(log(x))^2dx　を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　|
　　　　　　　　　　　　　　 |　問３）レムニスケート曲線　x^2+y^2=a√(x^2-y^2) (a>0)　上の任意の点（ｘ、ｙ　　 　 　 |
　　　　　　　　　　　　　　 |　　　　での接線の方程式を微分計算により求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　|
　　　　　　　　　　　　　　 |　問４）f(t)=e^(-t)sinwt　をラプラス変換せよ。　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　|
　　　　　　　　　　　　　　 |　問５）正多面体が4,6,8,12,20の五つしかないことを証明せよ。 　 　 　 　 　 　 　　　 　 　|
　　 　 　 　 　分かる？　|　問６）U_n(cosθ)=sin((n+1)θ)/sinθ　とし、母関数展開、　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　|
　　 〃⌒｀ヾ　 　 　 　 　 |　　　　1/(1-2xξ+ξ^2)=Σ[n=0～∞](U_n(x)ξ^n)　を証明せよ。　　　　　　 　 　 　 　 　 |
　　〈〈〈小〉〉〉　,-っ　　　 |　問７）D=((X､Y)∈R^2|1　　 ﾚ'　ﾛ‐ﾛi　/ _). 　　　 |　　　　0<α<1　ならば次の広義積分は収束することをしめせ。　　　　　　　　　　 　 　 　 |
　　 ｀iヾ.－ﾉ､/７. 　 　 　 |　　　　I=∬1/x^2+Y^2　dxdy　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 |
　　/⌒｀：|´　/.　　.　　　 |　問８）0以上の実数x,y,zが　x+y^2+z^3=3　を満たしている　　　　　　　　　　　　　　　　 　|
　 /　;　.：|　 | 　 　 　　　 |　　　　L=x+y+z　とおくときLの最小値mが　m<(3/2)　であることを示せ　　　　 　 　 　 　 |
　〈　〈l　：|　 | 　 　 　　　 |　問９）5+3=x　xを求めよ。　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 |
　　ヾ !==_==| 　 　 　　　 |＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿|
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